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EN GUISE D'INTRODUCTION

CHAOS [kao] n.m. (gr. khaos). Philos. Confusion générale des éléments de la matière, avant la création du monde. Fig. Désordre épouvantable, confusion générale.

Petit Larousse

La définition que nous propose le Petit Larousse n'est pas très satisfaisante. Le chaos, c'est bien plus qu'une confusion générale ou qu'un désordre épouvantable. Le chaos existe depuis l'aube du temps, la naissance de l'espace. Peut-être leur est-il antérieur, peut-être est-il la cause même de leur émergence. Le chaos est donc tout sauf une invention humaine, même si c'est par notre volonté de comprendre la Nature qu'il se manifeste. L'homme n'a découvert cette angoissante facette de la Nature que vers la fin du XIXème siècle, préférant sans doute croire que le monde était fait pour être maîtrisé.

En ce qui me concerne, la première fois que j'entendais parler du chaos remonte à une conférence, il y a quelques années. Je me souviens nettement avoir eu l'impression, en sortant de la salle, que le monde avait changé, qu'il n'était plus le même que celui que j'avais connu à peine deux heures auparavant. Il n'était plus ce monde bien réglé et discipliné que je pensais si bien connaître, mais une structure infiniment plus complexe, plus imprévisible, mais également tellement plus belle et passionnante.

Je vous propose aujourd'hui un voyage de découverte du chaos. Le principal but de ce voyage est de découvrir que le chaos est partout, en moi, en vous, autours de nous, dans les atomes, dans les planètes, dans les galaxies. Il ne s'agit donc pas ici de plonger de manière exhaustive dans la très complexe théorie du chaos, que je réserve aux mathématiciens aguerris, ni de faire du bourrage de crâne systématique, mais bien de dévoiler le chaos en tant que vision du monde, de manière à nous amener à réfléchir et à nous poser des questions à propos de cet aspect de la réalité que nous ne pouvons ignorer. Ce livre ne s'adresse donc pas au lecteur qui désire acquérir ou parfaire une connaissance théorique des lois du chaos. Il s'adresse plutôt à toute personne, scientifique ou non, désireuse de comprendre le chaos et de cheminer un moment sur ses traces.

Poincaré entre Newton et Einstein

Pour bien comprendre une idée scientifique, il est nécessaire de bien comprendre son histoire. Comprendre comment, à travers les époques et les mentalités, cette idée est née, a évoluée, pour finalement devenir une théorie moderne, une loi acceptée de tous, une description de notre monde. Pour bien comprendre le chaos, il est auparavant également nécessaire de bien connaître son faux jumeau (pour ne pas dire son ennemi), le déterminisme.

Si l'histoire du chaos en tant que science commence il y a à peine un siècle, celle du déterminisme remonte à l'antiquité, lorsque les Grecs étaient à l'apogée d'une culture scientifique sans précédent. Le déterminisme n'existe alors qu'à l'état de doctrine philosophique, dépourvue de bases scientifiques et de confirmations expérimentales. Il faudra attendre la fin du XVIIème siècle et Isaac Newton pour donner au déterminisme ses lettres de noblesse : des fondements théoriques et mathématiques solides. Le déterminisme devient une vision du monde.

Newton parvient à démystifier le fonctionnement du monde à l'aide de sa loi sur la gravitation universelle. La Nature s'abandonne enfin à la connaissance des hommes, après des siècles de brouillard scientifique. Notre monde devient une machine parfaitement harmonieuse et intelligible, ce qui signifie qu'il obéit à des lois strictes, d'origine divine, et que ces lois peuvent, doivent toutes être découvertes par l'homme. Ce dernier est le propriétaire et le maître de la Nature. De nos jours, ce postulat n'est plus guère défendu, et l'on estime plutôt que ce n'est pas le monde qui obéit aux lois, mais que ces lois ne sont au plus qu'une formulation mathématique de ce que nous observons, permettant une description approximative des phénomènes naturels. En aucun cas la Nature n'adapte son comportement de manière à nous permettre de la comprendre, et il n'est même pas certain que la Nature soit réellement compréhensible. Bien sûr, les lois de Newton n'apportent pas la réponse à toutes les questions, mais elles élucident le mystère des mouvements, autrement dit de la mécanique. La mécanique est la discipline scientifique centrale à cette époque, car elle rend compte de la majeure partie de la réalité observable. En effet, l'infiniment grand et l'infiniment petit sont encore hors de portée des moyens expérimentaux.

Einstein, deux siècles plus tard, complète le modèle de Newton, élargissant son domaine d'application à l'infiniment grand et à l'infiniment rapide. Cette généralisation est obtenue au prix de bouleversements fondamentaux, dont le cadre dépasse la seule mécanique. Einstein balaie littéralement toute une série de croyances établies. Il unifie la matière et l'énergie, de même que l'espace et le temps, et enfin 10 ans plus tard, les quatre dans sa théorie de la relativité générale. La matière devient l'ultime forme d'énergie condensée. Le temps devient la quatrième dimension, ne devant son existence que grâce à la naissance des trois dimensions de l'espace. Le temps et l'espace ne sont plus des grandeurs cartésiennes et indépendantes l'une de l'autre, mais une structure unique qui peut être tordue, condensée, dilatée sous l'influence de la matière : l'espace-temps.

Quelques décennies plus tard encore, la mécanique quantique voit le jour, rendant compte du domaine de l'infiniment petit. Ici encore, les bouleversements nécessaires sont de taille. Il semble qu'une particule puisse se comporter tour à tour en grain de matière et en onde électromagnétique. En conséquence de cette dualité, les certitudes s'effacent au profit de probabilités. La mécanique quantique ne fait pas immédiatement l'unanimité et longtemps Einstein refuse d'y adhérer, ne pouvant admettre que le hasard prend racine au niveau le plus fondamental de la matière et de l'énergie -Dieu ne joue pas aux dés-, disait-il. Pourtant, il semble bien qu'il se trompe. Dieu n'a sans doute rien à voir là-dedans, mais il y a probablement bien quelqu'un qui joue aux dés avec les atomes !

Newton et les autres fondateurs de la mécanique classique ont révolutionné le monde des sciences en y apportant de l'ordre. Einstein et les fondateurs de la mécanique quantique ont imposé un ordre nouveau s'étendant bien au-delà de la réalité observable, celui de la relativité et du quantique.

Il existe en fait une troisième révolution qui émergea quelques années avant l'ascension d'Einstein, de la plume du mathématicien Henri Poincaré : la théorie du chaos. Si Einstein compléta le monde de Newton, Poincaré quant à lui jeta sur ce monde un voile opaque, le rendant plus flou, moins parfait. L'avènement de cette théorie et ses conséquences signent l'arrêt de mort du déterminisme du XVIIème siècle.

Malgré l'importance de sa théorie, Poincaré estime que la communauté scientifique n'est pas prête à recevoir une telle douche froide. Poincaré est prudent, hésitant souvent à imposer ses idées. Evidemment, il faut admettre que la théorie du chaos est une mauvaise nouvelle sur le plan scientifique. En général, les nouvelles théories scientifiques ouvrent de nouveaux horizons, balayent les vieilles croyances pour les remplacer par une meilleure compréhension du monde. La théorie du chaos, quant à elle, provoque un mouvement inverse : elle dresse un mur qui masque l'horizon, elle impose une limite à la compréhension du monde. Il faudra de ce fait du temps à la communauté scientifique pour accepter cette limite intrinsèque et notre incapacité à la surpasser. Le chaos n'est pas la seule découverte au tableau de chasse de Poincaré. 10 ans avant la parution de l'article sur la relativité restreinte par Einstein, il développe la formule E = mc², de même que la problématique de la simultanéité, dans un de ses cours. Malheureusement, il ne poussera pas le raisonnement jusqu'au bout, ne voyant pas la bombe qu'il tient entre ses mains. Einstein réparera cette erreur quelques années plus tard. S'il reste correct de désigner Einstein comme le père de la relativité, Poincaré en devient sans conteste le grand-père.

La théorie de Poincaré, il faut le noter, est partielle, elle ne s'applique principalement qu'au problème de la stabilité du système solaire. Elle ne sera complétée que plusieurs décennies plus tard, entre autres par l'avènement des mathématiques modernes et de la mécanique quantique, offrant à la théorie du chaos une argumentation indirecte, mais de premier choix. Plus tard, vers les années 80, l'informatique se révèlera un outil précieux dans l'étude quantitative du chaos.

Qu'est ce que le chaos ? Le chaos en tant qu'idée scientifique et philosophique n'est autre que l'origine de l'imprévisibilité des phénomènes. Dans le monde qui nous entoure, cette imprévisibilité se traduit par l'émergence du hasard. A un niveau plus théorique, la théorie du chaos permet aux physiciens et aux mathématiciens de comprendre des phénomènes apparemment aléatoires et désordonnés et d'en faire surgir des niveaux d'ordre très complexes. Nous reviendrons sur tout cela.

Distinction préliminaire : désordre n'est pas chaos

Avant de nous engager dans le vif du sujet -qu'est-ce que le chaos ?-, il peut être intéressant d'analyser ce que le chaos n'est pas, et ce afin d'éviter une confusion fréquente. Certains lecteurs seraient en effet tentés de penser chaos en terme de désordre. Ces deux concepts existent bel et bien en science mais sont totalement distincts. Afin de dissiper tout malentendu, nous commencerons par développer brièvement l'idée de désordre. Le désordre est un concept qui décrit le niveau d'ordonnancement ou de structure de la matière ou de l'énergie. Explicitons brièvement ces idées.

Pour la matière, il s'agit d'apprécier dans quelle mesure les atomes et les molécules forment des structures répétitives, organisées, ou au contraire sont dispersés et forment un milieu sans structure. Par exemple, le désordre augmente si une grosse molécule se sépare en plusieurs molécules plus petites. Le désordre peut dans ce cas être compris en termes de dispersion. Par contre, dans un cristal par exemple, l'ordonnancement des atomes rend le niveau de désordre très faible. D'une manière plus intuitive, le désordre augmente si, par exemple, nous faisons fondre un sucre dans notre café, et ce de par la dispersion des molécules de sucre. Dans cette logique, nous pouvons proposer que le corps humain est un magnifique exemple d'objet hautement ordonné. Chaque molécule participe activement à l'élaboration et au fonctionnement de la machine humaine.

Pour l'énergie, il s'agit d'évaluer dans quelle mesure il existe, à l'intérieur d'un système isolé du reste du monde, des zones d'énergie différentes, autrement dit des déséquilibres. Seules ces déséquilibres permettent des flux d'énergie, autrement dit de l'évolution. Voyons cela. Si un milieu présente une température moyenne de 20 degrés, deux situations sont possibles : soit le milieu tout entier est à une température de 20 degrés, soit il existe des zones à 10 degrés et des zones à 30 degrés. Dans les deux cas, l'énergie totale est identique. Pourtant, il y a une différence en ce qui concerne la qualité de l'énergie. Dans le premier cas, la situation ne peut plus évoluer, elle est figée, on dit que le système est thermodynamiquement mort. Cette situation présente un niveau de désordre maximal, l'énergie présente un équilibre total. Dans la seconde situation, par contre, le déséquilibre est à l'origine d'un potentiel d'évolution. En effet, les zones chaudes peuvent se refroidir au bénéfice du réchauffement des zones froides. Cette situation présente un niveau de désordre moins élevé.

Dans toutes ces situations, l'unique règle à retenir est la suivante : avec le temps, l'ordre tend à évoluer vers le désordre. La montagne laissée à elle-même devient une colline et finalement un terrain plat. Un mélange d'eau à 10 degrés et d'eau à 30 degrés donne de l'eau à 20 degrés. Le corps humain laissé à lui-même (c'est-à-dire mort) se dégrade. Le morceau de sucre plongé dans le café fond et se disperse. Tous ces phénomènes sont irréversibles, c'est-à-dire qu'ils ne peuvent pas faire demi-tour. Ils montrent que le temps n'est pas un paramètre qui peut avancer ou reculer, il existe bel et bien une flèche du temps !

Le désordre n'est pas qu'une appréciation subjective, il est surtout un concept scientifique, quantifié par ce qu'on appelle l'entropie. L'entropie est une importante fonction thermodynamique qui révèle une image de la qualité de l'énergie. Tandis que le premier principe de la thermodynamique prévoit que l'énergie totale de l'Univers change de forme mais reste constante (principe de quantité), le second précise que, au cours des transformations qui modèlent l'Univers, cette énergie se dégrade et se disperse (principe de qualité), augmentant de ce fait le désordre, ou l'entropie. Le contenu énergétique de l'Univers est constant dans le temps, mais sa tendance est à l'évolution vers le désordre.

Comment se déroule cette perte de qualité de l'énergie ? Lors d'une transformation, une partie, si infime soit-elle, du capital-énergie mis en jeu se répand sous forme de chaleur, inévitablement. Cette chaleur est déversée dans le milieu, le réchauffant. Ce réchauffement est de l'énergie perdue. Il est possible d'utiliser cette chaleur de manière à ne pas perdre cette précieuse énergie, mais seulement pour une partie de cette énergie, l'autre est dispersée irrémédiablement. C'est principalement pour cette raison que le mouvement perpétuel, autrement dit une machine qui fonctionne pour l'éternité avec un seul apport initial d'énergie, n'existe pas et ne peut pas exister, quelle que soit la perfection de la machine. Le rendement 100% n'existe pas !

S'il est vrai que le principe d'entropie est fondamental, force est de constater que tout n'est pas aussi simple et que ce principe n'est probablement pas le seul à régir notre monde. Deux exemples illustrent cela.

Le premier exemple est notre corps. Celui-ci est hautement ordonné, et il est pourtant construit à partir d'atomes et de molécules simples, principalement à base de carbone, fournies par notre alimentation. Ce choix pour le carbone n'est pas un hasard mais une nécessité, le carbone étant le seul atome qui permet la construction de molécules géantes, indispensables à la transmission d'information génétique. Notre corps semble donc être le témoin d'une diminution d'entropie, autrement dit d'une augmentation d'ordre. Selon Pierre Teilhard de Chardin, la vie est le seul phénomène chimique à autoriser une diminution d'entropie, ce qui confère à l'apparition de la vie un statut tout particulier, différent des autres réactions se déroulant dans l'Univers. D'autres théories, plus modernes, stipulent que la diminution d'entropie n'est que locale et doit être associée avec l'augmentation d'entropie subie par le soleil lorsque, de par son rayonnement, il permet l'apparition de la vie. L'entropie du système Terre-soleil pris dans sa globalité augmenterait bel et bien. D'aucuns affirment, à l'encontre de cette explication, que de par sa température très élevée par rapport à celle de l'espace, le soleil est une source de faible entropie, ne contrebalançant pas la diminution d'entropie occasionnée par l'apparition de la vie. Boltzmann et Poincaré, quant à eux, ne croient tout simplement pas en l'obligatoire augmentation d'entropie. Bref, rien n'est sûr et la question entropie et anthropie restera ouverte pendant de longues années encore.

Un deuxième exemple qui semble contredire le principe d'entropie concerne notre Univers tout entier. Alors qu'à sa naissance, il y a 15 milliards d'années, il existait sous la forme d'un milieu homogène très énergétique ne contenant qu'un seul type de particules, il est maintenant peuplé de planètes, de comètes, et d'étoiles, comme si l'eau à 20 degrés avait spontanément donné naissance à de l'eau à 10 degrés et de l'eau à 30 degrés. Les molécules se sont assemblées plutôt que de se disperser. N'est-ce pas là un bel exemple d'ordre surgit du désordre ? Hubert Reeves pense que la force de gravitation, qui est à la base de la formation des astres, permet une diminution de l'entropie. Il applique d'ailleurs un raisonnement similaire à l'apparition de la vie.

Concernant ce débat, signalons encore la théorie de l'information, qui pense entropie non pas en terme de désordre mais en terme de quantité d'information. Qu'est-ce que cela veut dire ? Cette théorie suggère que ces apparentes contradictions au second principe de la thermodynamique s'expliquent comme suit : il faut moins d'information pour décrire un mur de brique avec précision qu'il n'en faut pour décrire un tas aléatoire de briques avec précision (donner la position de chaque brique). L'ordre des molécules plutôt que leur désordre aléatoire devient alors favorable du point de vue de l'entropie. Quoi qu'il en soit, cette polémique reste un point chaud des discussions scientifiques, mêlant science exacte, métaphysique et philosophie. Ne nous attardons pas davantage sur ce sujet pourtant passionnant car nous avons encore un long chemin à parcourir.

LE CHAOS ET LE DETERMINISME

Le déterminisme, colosse aux pieds d'argile

" Une intelligence qui, pour un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la Nature est animée, et la situation respective des êtres qui la composent, si d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l'analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l'Univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir comme le passé seraient présents à ses yeux. "

Marquis Pierre Simon de Laplace, Traité de Mécanique Céleste (1749-1827)

" (…) l'ignorance des différentes causes qui concourent à la production des évènements, et leur complication jointe à l'imperfection de l'analyse, l'empêchent de se prononcer avec certitude sur le plus grand nombre des phénomènes ; il y a donc pour lui des choses incertaines, il y en a de plus ou moins probables. Dans l'impossibilité de les connaître, il a cherché à s'en dédommager en déterminant leurs différents degrés de vraisemblance, en sorte que nous devons à la faiblesse de l'esprit humain une des théories les plus délicates et les plus ingénieuses des mathématiques, à savoir la science des hasards ou des probabilités. "

Marquis Pierre Simon de Laplace, Essai Philosophique sur les Probabilités

Ces deux extraits de Laplace sont le témoin de l'age d'or du déterminisme. C'est pourtant à Isaac Newton qu'il faut associer la naissance de ce mouvement, un siècle plus tôt. Selon la légende, Newton trouva sa loi sur la gravitation universelle en voyant une pomme tomber d'un arbre et en se demandant pourquoi la lune ne tombe pas elle aussi. Pour lui permettre de quantifier ses théories, il échafaude, en même temps que Gottfried Leibniz, les bases du calcul différentiel. Grâce à sa loi sur la gravitation universelle, il est capable d'expliquer non seulement le mouvement des planètes et des satellites, mais également la chute des corps, les trajectoires balistiques, et d'une manière générale tous les phénomènes dynamiques. Ainsi, pour chaque corps dont on connaît les conditions initiales, les lois de Newton permettent de prévoir avec une précision absolue la trajectoire future, le point de chute, la vitesse à l'impact, etc… Les conditions initiales d'un objet sont l'ensemble de tous les paramètres qui caractérisent cet objet à un moment donné (sa position, sa vitesse et sa direction de départ, les forces de frottement, etc.).

Le monde que Newton a créé est une structure déterministe. Chaque situation, appelée cause, a une évolution future unique, appelée effet, prévisible grâce aux lois de la Nature. Ainsi que le disait Voltaire, il n'y a point de hasard. La Nature devient de ce fait notre complice dans notre volonté de la comprendre, en nous assurant le lien de cause à effet. L'homme est fait pour comprendre le monde, non pas en surface mais fondamentalement, et le monde se prête volontiers à cette quête. En conséquence, l'homme est le maître absolu de la Nature, et elle a été créée pour lui. L'homme devient la finalité de la naissance de l'Univers. Cette vision nombriliste de la position de l'homme au sein de l'Univers ne fait pas l'unanimité, comme en témoigne ce passage extrait de Cyrano de Bergerac dans son Voyage dans la Lune qui évoque l'orgueil insupportable des humains qui se persuadent que la Nature n'a été faite que pour eux.

Il convient de noter à ce sujet qu'un phénomène ne peut avoir comme cause qu'un phénomène antérieur. De plus, les travaux d'Einstein suggèrent que le lien de cause à effet, quelle que soit sa nature, n'est pas instantané mais se propage au plus à la vitesse de la lumière. Ainsi, une éruption solaire ne peut exercer une influence quelconque sur la Terre qu'après 8 minutes, autrement dit dès qu'elle est visible. De même, un phénomène se produisant en ce moment même à l'autre bout de la galaxie ne peut pas avoir une influence sur nous avant 100 000 ans. Le lecteur familier avec la théorie de la relativité notera et excusera l'utilisation de la formule dénuée de sens en ce moment même.

Par ailleurs, il faut savoir que Newton alloue à Dieu un rôle central dans ses théories. Il pense que l'énergie totale contenue dans l'Univers (dont il a une définition erronée) se perd peu à peu, au fil des transformations (c'est déjà une intuition de la notion d'entropie), mais que Dieu fait le plein d'énergie quand c'est nécessaire. Lorenz, quant à lui, accorde bien à Dieu un rôle central lors de la création du monde, mais affirme que depuis lors, la Nature se passe de ses services. Laplace, dans sa Mécanique Céleste (premier extrait), exprime que si nous connaissions tout l'Univers à un moment donné (c'est-à-dire toutes les positions, les vitesses… de tous les atomes, planètes, galaxies…), nous pourrions en déduire, moyennant les quelques lois de la Nature, le futur et le passé de tous ces objets. Il admet que cela n'est pas à la portée de l'homme (second extrait), mais il reste convaincu de cette possibilité. De ce déterminisme absolu il a totalement écarté Dieu. En témoigne la conversation entre Laplace et Napoléon, lorsque ce dernier lui demanda d'expliquer sa théorie. Après que Laplace lui ai présenté ses travaux, Napoléon lui fit remarquer : " Monsieur le Marquis, je ne vois pas beaucoup Dieu dans votre théorie ". Et Laplace de répliquer : " Sire, c'est une hypothèse dont je n'ai pas eu besoin ". Cette obsession de l'action centrale de Dieu dans le fonctionnement de la Nature est révélatrice de l'importance du soutien de l'Eglise, qui reste pour les scientifiques un privilège non négligeable voire indispensable, comme en témoigne la sentence prononcée à l'issue du procès de Galilée : " L'opinion que le Soleil est au centre du monde et immobile est absurde, fausse en philosophie, et formellement hérétique, parce qu'elle est expressément contraire à la Sainte Ecriture ".

Le déterminisme n'est pas qu'une nouvelle théorie parmi tant d'autres, il est une vision du monde. En effet, le déterminisme implique que tout ce qui se passe, tout ce que nous faisons trouve son origine dans une cause. Donc, le présent est l'effet du passé et la cause du futur. Ce futur est par conséquent écrit et unique, il est déterminé. Chaque particule, être vivant, ou planète est prisonnière de son destin. L'évolution du monde, notre évolution, n'est rien d'autre qu'une succession de causes et de leurs effets, qui à leur tour deviennent des causes… La question de l'origine de l'Univers équivaut à la recherche de la cause première, régal des philosophes en mal de migraine depuis l'antiquité. Tout comme chaque cellule de notre corps contient notre patrimoine génétique tout entier, chaque atome de l'Univers porte en lui toute l'histoire passée et tout le destin de l'Univers. L'Univers, à chaque instant, est le reflet de son passé et de son futur.

L'émergence du chaos : la Nature voilée

Cette vision déterministe de l'Univers met en évidence une structure parfaite, stable et harmonieuse, divine. Elle ne sera remise en question que vers les années 1900, avec entre autres Poincaré et sa théorie du chaos. Qui dit chaos, dit mouvement et dit conditions initiales. Ce dernier terme, que nous avons déjà rencontré lors du chapitre précédent, a déjà acquis une importance centrale sous Newton, mais ce n'est qu'à l'époque de Poincaré qu'il prendra son véritable rôle.

Poincaré a l'intuition du chaos en constatant que dans certains cas, une variation infime des conditions initiales peut entraîner des perturbations gigantesques dans les phénomènes subséquents. Et c'est ainsi que nous arrivons à l'idée centrale du chaos : si cette variation des conditions initiales ne peut être mesurée expérimentalement tant elle est infime, comment savoir vers quel scénario nous nous dirigerons ? Le phénomène est chaotique : son destin est tellement dépendant de ses conditions initiales qu'une infime variation de celles-ci, non-mesurable, peut tout faire basculer. Poincaré voit également que les phénomènes ne sont pas les effets de quelques causes bien précises, mais bien les effets de toutes les causes, autrement dit de l'Univers tout entier. De même, la sphère d'influence d'un phénomène ne se limite pas à son environnement direct mais porte, à faible dose sans doute, sur tous les corps de l'Univers. Plus globalement, chacun des 1080 atomes que compte l'Univers exerce une influence sur tous les autres. Prévoir un phénomène avec une précision infinie nécessite donc la connaissance de l'influence de toutes les parties de l'Univers sur ce phénomène. Est-ce compatible avec notre perception du monde ? Oui, parce que la plupart des ces influences sont négligeables. Heureusement, car cette connaissance de toutes les causes équivaut à la connaissance totale et permanente de l'Univers, ce qui sera toujours hors de notre portée. Il n'est pas utile d'argumenter cela…

Donc, non seulement l'imprécision (non-mesurable) de la mesure des conditions initiales mais également l'impossibilité de connaître toutes les conditions initiales rend compte du caractère chaotique d'un phénomène. Poincaré s'oppose donc à Laplace en affirmant que la fameuse connaissance totale de tout l'Univers est fondamentalement impossible, elle n'est pas seulement limitée par nos propres limites. Il est pourtant fondamental de bien comprendre que le chaos ne détruit pas le déterminisme. En effet, si le chaos peut effectivement provoquer d'imprévisibles bouleversements, comme nous le verrons, il n'autorise pas pour autant le phénomène à se comporter de manière globalement aléatoire, totalement indépendamment des lois de la Nature. Le chaos est un déterminisme auquel a été greffé de l'imprécision, une part d'imprévisible. Nous verrons que cette greffe est probablement réalisée au niveau le plus fondamental de la Nature.

Mesurer, c'est modifier

La formule variation non-mesurable des conditions initiales est évidemment gênante. Cela semble, en effet, n'être qu'une question de progrès technologique et de qualité des instruments de mesure, mais ce n'est pas le cas. En effet, quelle que soit la précision d'un instrument de mesure, celle-ci est toujours, par définition, limitée. Il y a donc toujours un chiffre après la virgule au-delà de cette limite, qui peut avoir des conséquences dramatiques sur le devenir du système mesuré. Par exemple, la précision des balances de laboratoires peut descendre jusqu'au centième de milligrammes. Les balances à lévitation magnétique procurent une précision d'un milliardième de gramme. Mais pour chacune de ces précisions, il y a un dernier chiffre après la virgule, à partir duquel l'imprécision se fait sentir. Il en est de même, par exemple, pour la mesure du temps. Atteindre une précision infinie est impossible. En effet, il faut savoir que, selon un principe immuable en science, mesurer, c'est modifier. Chaque mesure nécessite par définition une interaction entre l'appareil de mesure et l'échantillon mesuré. Cette interaction obligatoire laisse toujours des traces derrière elle, même si souvent cette interaction est négligeable.

Lorsque nous utilisons notre lampe pour éclairer notre chemin, nous effectuons une mesure active en émettant un signal (= la lumière) pour faire une mesure (= éclairer). La lumière émise par notre lampe modifie l'état du chemin. Lorsque nous observons un objet en plein jour, nous effectuons une mesure passive, nous n'émettons pas de signal, mais nous captons ceux émis spontanément par l'objet (= la lumière du soleil réfléchie). Nous serions tentés de croire qu'une mesure passive n'influence pas l'objet observé, mais il n'en est rien. En effet, en captant une partie de la lumière émise ou réfléchie par l'objet, nous empêchons cette lumière de parvenir aux objets situés derrière nous. Notre observation, même passive, modifie le système, et par extension l'Univers entier.

Il est donc important de comprendre qu'il n'est absolument pas possible pour un expérimentateur ou pour un observateur de rester neutre, c'est-à-dire de ne pas interagir avec le système étudié. L'observateur, de par son action d'observation, s'intègre dans le système observé, il en fait partie. Les conséquences de cette interaction sont fondamentales. En effet, la mesure donne une information sur le système tel qu'il était pendant la mesure, mais son état aura changé depuis ! C'est pour cela que la précision d'une mesure est intrinsèquement limitée.

AMPLIFICATION + EQUILIBRE INSTABLE = CHAOS

" Une cause très petite, qui nous échappe, détermine un effet considérable que nous ne pouvons pas ne pas voir, et alors nous disons que cet effet est dû au hasard. Si nous connaissions exactement les lois de la Nature et la situation de l'Univers à l'instant initial, nous pourrions prédire exactement la situation de ce même Univers à un instant ultérieur. Mais, lors même que les lois Naturelles n'auraient plus de secret pour nous, nous ne pourrions connaître la situation initiale qu'approximativement. Si cela nous permet de prévoir la situation ultérieure avec la même approximation, c'est tout ce qu'il nous faut, nous disons que le phénomène a été prévu, qu'il est régi par des lois ; mais il n'en est pas toujours ainsi, il peut arriver que de petites différences dans les conditions initiales en engendrent de très grandes dans les phénomènes finaux ; une petite erreur sur les premières produirait une erreur énorme sur les derniers. La prédiction devient impossible et nous avons le phénomène fortuit. "

Henri Poincaré (1854-1912)

Amplification : un premier exemple de chaos dans la Nature

Plusieurs situations et objets permettent de visualiser l'idée du chaos. Les cinq chapitres qui suivent illustrent le chaos par des exemples tirés de notre vie quotidienne : le bowling, la chute d'une gomme, le billard, la météorologie. Ceux-ci pourront sembler excessivement détaillés aux yeux du lecteur averti. Le but de ce long développement est de permettre aux autres lecteurs de bien comprendre l'idée d'émergence du chaos.

Prenons comme premier terrain d'expérience une piste de bowling. Pour effectuer notre expérience, il nous faut bien entendu une main innocente. A cette fin, nous construisons une machine capable de lancer la boule avec une grande précision. Pour une première expérience, considérons une piste non garnie de quilles, et faisons jouer notre machine. A chaque lancer, la boule roule sur la piste, ne rencontre pas d'obstacles, et finit dans le trou. Un observateur humain dira que toutes les boules ont suivi le même trajet, car elles sont toutes tombées au même endroit dans le trou. Jusque là, Newton et le déterminisme triomphent : plusieurs expériences identiques aboutissent effectivement à des résultats identiques. Pourtant, les boules n'ont pas toutes suivi exactement la même trajectoire. Pourquoi ? Tout d'abord parce que même si la machine lance la boule avec une précision très élevée, cette précision n'est pas infinie. Ensuite, parce que entre chaque lancer, l'environnement peut changer : il suffit d'un courant d'air pour dévier la boule. Ces deux aspects sont d'une importance capitale pour la suite de nos expériences et nous y ferons appel en temps voulu. Toutefois, dans un souci de simplification, nous négligerons momentanément l'influence des conditions environnantes, tels que par exemple les courants d'air inopinés, pou nous concentrer uniquement sur l'imprécision du lancer. Donc, les trajectoires successives ne sont pas rigoureusement identiques, mais ces variations ne sont pas encore visibles, elles sont trop faibles. On dit qu'elles sont négligeables. En réalisant une deuxième expérience, nous ferons en sorte que ces variations s'amplifient jusqu'à ce qu'elles soient visibles à nos yeux.

Plaçons les quilles sur la piste et faisons jouer notre machine. Il est probable, mais pas certain, que le nombre de quilles renversées soit le même à chaque lancer. L'expérience consiste ici à noter avec précision la position et l'orientation de chaque quille renversée après le passage de la boule, par exemple en prenant une photo à la verticale de la piste. Nous verrons cette fois que chaque lancer aboutit à une situation fort différente. Il faudra probablement lancer des milliers de boules avant de retrouver deux situations identiques : toutes les quilles au même endroit avec la même orientation. Souvenons-nous que toutes les boules ont pourtant été lancées de manière identique. En conséquence, les conditions initiales étaient identiques pour chaque lancer, et Newton nous dit alors que la suite des événements doit être unique puisqu'une même cause ne peut avoir qu'un même effet, et pourtant ce n'est pas ce que nous observons.

Ce que nous constatons, c'est que la visibilité de l'aspect chaotique d'un phénomène augmente à mesure que le phénomène se propage (le lancer, suivi de la trajectoire de la boule, suivie du contact avec les quilles, suivi de la chute dans le trou). Pourtant, puisque cette dimension chaotique ne peut pas être apparue ex nihilo elle devait déjà être présente dans le mouvement même de la machine. Imperceptible au départ, en absence de quilles, cette dimension chaotique a été amplifiée de par la pose des quilles, jusqu'à être visible à nos sens. Dès le départ, donc, le chaos résidait dans le mouvement de la machine.

Comment expliquer qu'une machine joue au bowling de manière chaotique ? Comme nous l'avons déjà dit, pour expliquer cela, il faut comprendre que la machine dispose d'une faculté de précision limitée. Par exemple, mettons qu'elle soit capable de lancer la boule avec une précision de 1 millimètre. Si cette précision est fantastique, elle n'en est pas moins limitée. Et cette limitation s'est amplifiée à chaque étape du jeu de bowling. Ce que nous observons sont donc les conséquences de cette imprécision du lancer, autrement dit des ces variations de la condition initiale.

Dans cet exemple, nous n'avons abordé que l'aspect de l'imprécision des conditions initiales. Nous avons évoqué cet aspect en développant une seule condition initiale, c'est-à-dire la direction du lancer. Nous n'avons donc volontairement omis d'aborder l'autre question, à savoir -quelle est l'influence cumulée de toutes les autres conditions initiales ?-. Il y a bien sûr l'état de la piste qui est modifié à chaque lancer, de même que l'état de la boule, la position exacte des quilles, l'influence d'un courant d'air provoqué par l'ouverture d'une porte, etc. Mais il y a aussi tout le reste de l'Univers : l'humidité de l'air dans la salle, le trafic routier devant le centre de bowling, un tremblement de terre en Chine, la position de la Lune, l'explosion d'une supernova à l'autre bout de la galaxie, il y a 100 000 ans…

Dans la vie réelle, donc, chaque objet cache une grande quantité de chaos, qui ne demande qu'à s'amplifier. Mais, nous le voyons dans l'exemple, l'amplification du chaos d'un seul intervenant chaotique suffit amplement pour développer un comportement imprévisible, visiblement chaotique. A l'opposé, certains phénomènes ne présentent pas de développement chaotique parce que leur évolution ne permet pas au chaos de s'amplifier, ainsi que nous le verrons au chapitre suivant. De même, l'exemple montre que l'émergence du chaos passe obligatoirement par le mouvement. Chaos et mouvement sont indissociables.

Attention, nous ne saurions trop insister sur ce que nous avons abordé au début de ce chapitre. Si le chaos provoque effectivement une imprévisibilité au niveau de la position des quilles après la chute, il ne peut pas bafouer les lois de la Nature et rendre l'expérience chaotique dans sa globalité. Toutes les boules roulent vers les quilles. Les boules ne font pas demi-tour à mi-chemin et les quilles ne se relèvent pas après être tombées. L'omniprésence du chaos ne le rend pas omnipotent pour autant !

Equilibre instable : source de chaos

Il est temps à présent d'introduire un concept étroitement lié à l'amplification du chaos, l'équilibre instable. Ces deux termes, équilibre et instable, peuvent paraître paradoxaux, mais l'illustration suivante clarifiera la situation. Imaginons une montagne au bord d'une vallée. Imaginons deux grosses boules de métal. La première se trouve au fond la vallée, la seconde se trouve au sommet de la montagne. Toutes deux sont immobiles, donc en équilibre. Pourtant, les deux situations sont fondamentalement différentes. Si le vent se lève et fait bouger les boules, celle de la vallée revient toujours à sa position initiale, elle est en équilibre stable. Celle du haut de la montagne, par contre, dès qu'une bourrasque la déloge de sa position, dévale la pente et ne revient jamais vers sa position initiale. La boule sur la montagne est en équilibre instable.

Que dire alors d'une boule située sur un terrain plat ? Elle est en équilibre indifférent. Si le vent la fait bouger, elle roule jusqu'à s'immobiliser à nouveau, plus loin. En théorie, c'est-à-dire pour un terrain parfaitement plat et en l'absence de tout frottement, la boule peut ne jamais s'arrêter, et nous avons un mouvement perpétuel. Toutefois, cette situation n'existe pas dans la Nature : ce que nous appelons plat n'est jamais parfaitement plat mais est en fait une succession de mini-vallées et de mini-montagnes.

Comme nous l'avons vu, les objets portent en eux un potentiel chaotique, inexprimé tant que ces objets sont au repos (c'est important !). Dans l'exemple, les trois boules possèdent ce même potentiel puisqu'elles sont identiques. Pourtant, celle qui se trouve au sommet de la montagne a de plus grandes chances d'exprimer et d'amplifier son potentiel chaotique, de par son équilibre instable. En effet, en roulant vers la vallée, elle peut briser des rochers, arracher des plantes, déclencher une avalanche, un feu de forêt,… Tous ces phénomènes peuvent à leur tour exprimer et amplifier leur potentiel chaotique propre, c'est l'effet boule de neige. Cette situation illustre le fait que l'émergence du chaos est avant tout une question de probabilité. La boule de la vallée, par contre, n'exprimera probablement jamais son potentiel chaotique, puisque même si elle bouge un petit peu, elle retrouvera rapidement sa position d'équilibre, avec peu de chances de provoquer en chemin des changements significatifs. La boule du terrain plat se situe entre ces deux extrêmes, elle peut rouler suffisamment longtemps pour éventuellement exprimer son potentiel chaotique.

Le lien avec le jeu de bowling est le suivant : les quilles avant la collision sont en équilibre puisqu'elles sont immobiles, mais en équilibre instable, elles tombent facilement. Nous pouvons aussi dire qu'elles sont plus stables couchées (comme la boule est plus stable dans la vallée). En tombant, elles expriment leur caractère chaotique : leur chute influence la trajectoire de la boule de bowling mais aussi la chute des autres quilles, qui à leur tour influencent la trajectoire et la vitesse de la boule. Or, les quilles ont une forme telle qu'elles peuvent choir dans toutes les directions, puis elles peuvent rouler, tourner sur elles-mêmes, etc… On dit qu'elles possèdent un nombre élevé de degrés de liberté. Ce nombre élevé est à l'origine de leur potentiel à propager et amplifier le chaos. Tous ces mouvements de quilles sont hautement chaotiques mais ne sont, en définitive, qu'une amplification de l'imprécision de la machine. Cette amplification est impressionnante parce que les quilles sont en équilibre instable, elle est ce que vous et moi appelions le hasard, ou, dans le cas du bowling, le talent… C'est à vous de voir.

Le chaos et la Nature : deuxième exemple

Un deuxième exemple, plus simple, suppose une expérience que tout le monde a réalisé plusieurs fois dans sa vie : laisser tomber une gomme. Voilà un phénomène bourré de chaos. En effet, chaque nouveau choc amplifie de manière monstrueuse le chaos du choc précédent. Mais ne précipitons pas les choses et détaillons notre expérience.

Lâchons la gomme d'une hauteur précise de 1 mètre et répétons l'expérience plusieurs fois. Si nous lâchons un objet quelconque, connaissant la hauteur et la masse de l'objet, Newton nous dit qu'il est possible de calculer la trajectoire de cet objet, sa vitesse à l'impact au sol, sa position finale, et tant d'autres choses. Nous possédons tous les outils et toutes les formules pour décrire ce genre de situations. Pourtant… Dans le cas d'une gomme, nous le savons, les choses ne s'arrêtent pas là. De par son élasticité et sa forme, elle va rebondir dans tous les sens avant de s'immobiliser après un laps de temps plus ou moins long. Si nous marquons le sol à l'endroit précis où la gomme s'immobilise, nous voyons que les marques sont dispersées sur un large rayon, et ce malgré des lâchers en apparence identiques. Newton est donc incapable de prévoir où et quand la gomme s'immobilisera.

A l'origine de cette imprévisible dispersion et cet échec Newtonien se trouve évidemment le chaos. A l'origine de ce chaos, nous avons une fois de plus l'imprécision des conditions initiales, c'est-à-dire l'imprécision du lâcher, qui sera amplifié non pas une fois, mais autant de fois que la gomme rebondira. En fait, nous pouvons proposer que la gomme porte en elle le poids de son chaos, et que l'imprécision du lancer se retrouve dans la chute de la gomme. En effet, même si nous effectuons le lâcher à une hauteur de 1 mètre, celle-ci est parfois 0,992 mètres, ou encore 1,0003 mètres, etc. Dans ce dernier cas, cette hauteur supplémentaire (0,3 millimètres) donne à la gomme plus de vitesse à l'impact, cette imprécision (0,3 millimètres) se retrouve dans le mouvement (la vitesse) de la gomme. Les conséquences chaotiques de cette différence de vitesse s'amplifieront à chaque rebond, résultant en l'imprévisibilité de la position finale de la gomme.

Le même raisonnement est valable si nous considérons une autre condition initiale, par exemple l'orientation de la gomme au moment du lâcher, ce qui a une grande influence sur la suite des événements. En effet, si la gomme tombe à plat sur son grand côté, elle peut ne pas rebondir du tout ; si elle tombe droit sur un coin, elle rebondira violemment dans une certaine direction. Nous le sentons, une petite différence dans l'angle de chute peut avoir des effets dévastateurs. Et souvenons-nous que ces effets sont amplifiés exponentiellement à chaque rebond ! Il est donc impossible de prévoir la position finale de la gomme, même le plus puissant ordinateur du monde en serait incapable. Ici encore, le déterminisme est tenu en échec. Des expériences apparemment identiques aboutissent à des résultats complètement différents, et de ce fait imprévisibles.

Dans cet exemple comme dans le précédent, nous n'avons développé que la question de la précision des conditions initiales et non celle de l'influence de toutes les causes, c'est-à-dire de l'Univers. En fait, la discussion des deux questions est fort similaire, car débattre des conséquences possibles d'une infime variation des conditions initiales d'un phénomène, ou débattre de l'influence de la position de Saturne sur ce phénomène relève de la même logique. En effet, la présence de Saturne perturbe directement l'orbite de Jupiter. Jupiter, à son tour, influence les mouvements de la Lune, et de ce fait les marées. Ces perturbations ont un impact sur les courants maritimes, et donc sur le climat. Cette influence sur le climat peut se traduire par une hausse de l'humidité de l'air, qui peut changer l'état de la piste de bowling par un gonflement des planches… Nous le voyons, l'influence de Saturne devient précisément celle de la précision d'une condition initiale, l'état du plancher. Cela dit, il est probablement plus approprié de concentrer la discussion sur ce dernier aspect. En effet, il est plus difficile de se convaincre que le mauvais score de bowling est causé par la position de Saturne, que de mettre la faute de la piètre performance sur l'imprécision des lancers.

Le chaos et la Nature : troisième exemple

Pour ce prochain exemple que nous ne détaillerons pas, considérons une table de billard. Le raisonnement est le même que pour les exemples précédents : si nous changeons un tant soit peu la trajectoire de la bille, le résultat final peut être totalement différent. Les champignons sur lesquels ricoche la bille de billard font ici office d'amplificateurs de chaos. C'est leur convexité qui est à l'origine de leur potentiel à amplifier le chaos.

Le chaos et la Nature : quatrième exemple

Les exemples que nous avons vus font chaque fois intervenir, il est vrai, le facteur humain. Mais il existe aussi des phénomènes chaotiques indépendants de l'action humaine, telle la chute d'une plume soumise au frottement de l'air, le lieu où la foudre frappe, le mouvement des branches des arbres sous l'effet du vent, …

Un exemple assez connu concerne la prévision du temps. Nous connaissons les lois qui régissent le climat, mais la multitude et la complexité des paramètres empêchent toute prévision approximative au-delà de quelques jours. Plus nous désirons une prévision précise, moins nous pouvons avancer dans le futur. Il est impossible d'effectuer une prévision avec une précision infinie, même pour savoir le temps qu'il fera dans 10 secondes.

Ce n'est que récemment que la météorologie fut confrontée au chaos. Un jour d'hiver 1961, le météorologue Edward Lorenz reprend le calcul d'un bulletin météo interrompu prématurément. Sans reprendre tous ses calculs depuis le début, il introduit son dernier listage des vitesses des vents en simplifiant les nombres à 3 décimales : 0,506 au lieu de 0,5058, supposant que la différence sera sans conséquence. Lorsqu'il revient, une heure plus tard, le graphique, censé reproduire exactement le précédent, suit une évolution d'abord similaire, puis de plus en plus divergente jusqu'à la soudaine disparition de toute ressemblance. Ainsi, un petit changement initial a entraîné un énorme changement, non pas progressivement, mais brutalement. Lorentz illustre cette complexité et cette imprévisibilité par cette phrase devenue célèbre -Le battement des ailes d'un papillon au Brésil peut déclencher une tornade au Texas-. Cet exemple reprend également de façon élégante la notion d'amplification du chaos.

Attention, ainsi que nous l'avons déjà notifié, il est important de bien comprendre que le chaos ne remet pas le lien de cause à effet ni les lois de la Nature en question, il s'exprime au contraire en s'appliquant aux lois de Nature, au travers de ces lois. Grâce au chaos, le hasard n'existe plus. Le résultat d'un lancement de dés n'est pas une question de hasard, mais une conséquence des conditions du lancer. Est-ce donc une forme de déterminisme ? Non, parce que la connaissance de ces conditions ne sera jamais à la portée de nos mesures, et il est fondamentalement impossible de prouver l'existence de quelque chose que nous ne puissions mesurer. En conséquence, la prévision du score aux dés est totalement impossible ! Non également, pour des raisons de flou quantique, sur lesquelles nous reviendrons plus loin. Non enfin, parce que le phénomène de la vie semble disposer d'une liberté transcendant le lien de causalité. Nous y reviendrons également.

L'HISTOIRE CHAOTIQUE DES HOMMES

Dans certains cas, la précision des conditions initiales joue un rôle nettement moins important que le nombre de paramètres influençant directement le phénomène en question. L'étude de l'histoire de l'humanité en est un bon exemple, même s'il est impossible d'expérimenter l'histoire de manière scientifique. En effet, que se serait-il passé si Napoléon avait gagné la bataille de Waterloo ? Quelle allure aurait notre monde d'aujourd'hui dans ce cas ? Plus simplement, comment serait le monde d'aujourd'hui si je n'avais pas raté mon train le 12 avril 1992 ?

Jamais nous ne saurons répondre à ces questions. Pourquoi ? Premièrement, parce que nous ne connaissons pas les conséquences de la défaite de Napoléon sur le monde et sur chaque atome de l'Univers, puisque cela ne s'est pas produit. Nous pouvons peut-être évaluer grossièrement les principales influences de la défaite, mais comment analyser les conséquences sur l'état de l'Univers ? En quoi la défaite a-t-elle influencée la position de Saturne ? Il n'existe aucun moyen de le savoir.

Il en va de même pour les évènements plus insignifiants (mais comment savoir s'ils sont réellement insignifiants ?). Si je n'avais pas raté mon train, qu'est ce que cela aurait changé ? Peut-être rien, c'est possible : un écart historique résorbé, en apparence, par l'histoire elle-même. Peut-être aurais-je été renversé par une voiture, tué sur le coup. Et ma mort a plus de chance de changer l'histoire qu'un train raté… En effet, étant mort, je ne peux pas avoir d'enfant. Si j'aurais du avoir un enfant, ma mort change le monde. Peut-être de peu, si mes descendants restent calmes, peut-être fondamentalement, si mon descendant provoque une guerre nucléaire globale. Nous ne savons pas.

Nous le voyons, les idées d'amplification du chaos et d'équilibre instable refont surface. Si la défaite de Napoléon est un tournant dans l'histoire, une victoire aurait probablement changé le monde. Si l'issue d'une bataille change le monde, il y a amplification, le monde est en équilibre instable et bascule. Sinon, cet évènement est résorbé par l'histoire, et ses conséquences sont lentement digérées par le temps. Ici encore, nous ne savons pas.

Dans tous ces exemples, l'étude des faits historiques en se demandant -qu'est-ce que ça aurait changé ?- est totalement spéculative, puisqu'il n'existe aucun moyen de vérifier une hypothétique réponse, et c'est bien là le problème. Il nous faudrait pour cela remonter dans le temps, demander à Napoléon de faire un effort et de bien vouloir gagner, et revenir analyser les conséquences de ce changement. Faisant cela, nous plongeons en plein paradoxe temporel. En quoi notre présence et nos actes en 1815 ont-ils changé le monde ? Autrement dit, dans quelle mesure les changements constatés à notre retour sont-ils imputables à notre présence et à ses conséquences plutôt qu'à la victoire de Napoléon proprement dite ? Et surtout, en quoi les changements provoqués en 1815 peuvent-ils empêcher notre naissance 160 ans plus tard ? Si nous ne pouvons pas naître, comment pouvons-nous empêcher la défaite de Napoléon, et ainsi empêcher notre naissance ?…

LE CHAOS ET LA SCIENCE

Le chaos expérimenté scientifiquement

Des expériences de laboratoire permettent aux chercheurs d'étudier scientifiquement le chaos. Ces expériences mettent en évidence l'importance des conditions initiales. A titre d'exemple, nous allons développer l'expérience du pendule de Rott. Trois aimants de couleurs différentes sont disposés aux trois extrémités d'un triangle, sur un plan horizontal. Au-dessus du centre du triangle est suspendue une bille de fer. La longueur du fil soutenant la bille est telle que la bille ne peut pas toucher les aimants, mais elle peut être attirée par eux et donc ne plus pendre verticalement.

L'expérience est la suivante : à la verticale d'un point quelconque, la bille, corde tendue, est lâchée. A tous les coups, elle finit par s'immobiliser, attirée par un des aimants. La démarche consiste à colorier le point à la verticale duquel la bille fut lâchée en la couleur de l'aimant au-dessus duquel la bille s'est immobilisée. Par exemple, nous lâchons la bille au-dessus du point A ; si la bille s'immobilise au-dessus de l'aimant rouge, nous colorions le point A en rouge. L'informatique permet de simuler l'expérience pour des milliards de positions de lancement. C'est une tache ardue, car de très complexes équations différentielles entrent en compte pour chaque position initiale.

Le résultat de ces simulations se présente comme suit. Chacun des trois aimants est assez logiquement entouré par une zone de sa couleur. Il est en effet compréhensible que la bille lâchée à proximité d'un aimant n'effectue pas de long trajet mais s'immobilise directement au-dessus de l'aimant en question. Autours de ces trois zones, nous observons une complexe construction de fines bandes courbes de toutes les couleurs. Le fait que les points de couleur ne sont pas parsemés au hasard mais regroupés en zone nous amène à croire que ce système n'est pas très dépendant des conditions initiales et n'est donc pas chaotique…

Mais regardons donc de plus près une de ces zones qui, à l'œil nu, parait homogène. En effectuant des simulations avec plus de précision, nous pourrions apercevoir de très fines tranches d'autres couleurs, quasi invisibles. Poursuivons le zoom, et nous verrons que ces fines tranches ne sont pas homogènes, mais renferment à leur tour des tranches encore plus fines, et ainsi de suite. En conséquence, il est impossible de prévoir au-dessus de quel aimant la bille s'immobilisera, car les subdivisions de couleurs se perpétuent à l'infini, tandis que nous ne connaissons la position de départ de la bille qu'approximativement, de par l'imprécision de nos mesures.

Le chaos est donc bien présent, mais sous une forme particulière. Les chercheurs ont observé cette structure dans le but d'y trouver une harmonie. Ils ont baptisé ce genre de structure une fractale. Derrière cette dénomination se cache une propriété étonnante : quelle que soit la distance à laquelle on regarde une fractale, celle-ci présente une allure similaire. On dit que les fractales sont self-similaires.

Cette propriété -cet ordre dans le désordre- est fondamentale car elle montre que le chaos ne génère pas une imprévisibilité globale et désordonnée. Si, effectivement, il est impossible de prévoir avec précision l'évolution à long terme d'un système particulier, il est tout à fait faisable de déterminer avec quasi certitude l'évolution approximative du système pris dans sa globalité, ainsi que nous l'avons abordé dans l'exemple du bowling. Dans notre expérience, il est donc impossible de savoir sur quel aimant la bille s'immobilisera, mais nous pouvons déterminer l'allure générale que prendront les différentes zones de couleur. De même, il est impossible que la bille refuse de s'immobiliser au-dessus d'un aimant. Nous pouvons à présent faire la distinction entre le hasard pur et le chaos, car ce dernier met de l'ordre dans le hasard.

Le chaos source d'harmonie : les fractales

Attardons-nous quelque peu sur les fractales. Une fractale est donc un objet mathématique dont la principale curiosité est d'être self-similaire, c'est-à-dire que si nous agrandissons une portion de l'objet, l'allure générale de l'image obtenue ressemble à l'objet entier. Cette self-similarité est en principe infinie, ce qui n'est en fait réellement le cas que pour les fractales mathématiques. L'ensemble de Mandelbrot est une fractale bien connue des mathématiciens. Pour les lecteurs intéressés, il existe de nombreux sites internet qui montrent de beaux exemples de fractales. Il suffit de faire une recherche avec les mots-clés fractal, chaos, Mandelbrot.

Certains objets naturels possèdent un nombre fini de degrés de self-similarité et peuvent dès lors être qualifiés de fractales naturelles. Pour prendre un exemple parlant de fractale naturelle, observons une feuille de fougère. La structure de la feuille entière se retrouve à trois niveaux dans la feuille. La structure dite dendritique d'un cristal de glace est un autre exemple de fractale naturelle.

Il existe des manières très simples de dessiner soi-même des fractales, tel que le montre le schéma ci-contre. Pour obtenir une véritable fractale, il faudrait poursuivre indéfiniment le dessin, ce qui n'est évidemment pas possible. Nous pouvons toutefois imaginer la poursuite infinie du dessin. Si nous nous intéressons à la longueur du segment, nous voyons qu'il est multiplié par 4/3 à chaque étape. En conséquence, si nous poursuivons le dessin (autrement dit la subdivision) à l'infini, le segment aura une longueur infinie.

En effet, une importante caractéristique d'une fractale est l'impossibilité de mesurer son contour. Son aire est finie et peut être calculée, mais son contour est infini. En conséquence, tandis que les structures mathématiques classiques ont un nombre entier de dimensions (1 pour une droite, 2 pour un carré, 3 pour un cube), les fractales ont un nombre de dimensions qui peut être un nombre non-entier, comme par exemple 1,5 ou encore 1,17822. Cette dimension fractale peut-être illustrée par le raisonnement suivant. Si nous doublons le diamètre d'une sphère, nous multiplions son aire par 4 (2²) et son volume par 8 (2³). Par contre, si nous doublons le diamètre d'un cristal de glace, son volume n'est pas multiplié par 8 (2³), mais par un chiffre entre 2 et 8 (2³). Lequel ? Cela dépend de la densité de la fractale. En fait, les corps massifs peuvent être considérés comme des fractales infiniment denses.

La mesure de la longueur d'un littoral ou d'une frontière illustre bien la géométrie fractale. Par exemple, mettons qu'il nous soit demandé de mesurer la longueur de la côte belge. Nous pouvons prendre une carte routière, mesurer la longueur de la droite reliant les frontières maritimes française et hollandaise et convertir en utilisant l'échelle de la carte. Nous pouvons utiliser des cartes topographiques plus précises et remplacer la droite de la carte routière par une somme de petits segments. Nous pouvons nous rendre sur la plage avec un mètre et patiemment mesurer toute la côte. Nous pouvons observer chaque galet, chaque grain de sable, chaque atome, pour être sûr. Dans le cas de la côte belge, qui est quasi rectiligne, la manière de procéder n'aura probablement pas une influence importante, et toutes les méthodes utilisées aboutiront à un résultat proche de 60 kilomètres. Mais s'il nous est demandé la même chose pour un littoral formé de falaises et de presqu'îles (comme la côte grecque), la prise en considération des plus petites failles et excroissances influencera considérablement le résultat.

Tout ça a l'air d'un gadget de mathématicien, mais il semble que l'approche fractale permet des percées significatives dans certains domaines de la physique théorique, par exemple dans l'étude du lien entre la mécanique quantique et la relativité générale, ainsi que dans certaines branches de la chimie, comme par exemple l'étude de la matière ultra-divisée. Plus récemment, il a été établi que la naissance des planètes se déroule par agrégation fractale de particules et de poussières. Dans un tout autre domaine, l'évolution des marchés boursiers est analysée suivant une logique fractale : les fluctuations qui s'étendent sur une année entière sont self-similaires aux fluctuations observées sur une seule journée.

Le chaos à retardement

Revenons-en au chaos. Une expérience a mis en évidence une effrayante caractéristique du chaos : le caractère chaotique d'un phénomène peut ne se révéler qu'après une longue période de calme. Cette caractéristique a été expérimentée avec un pendule un peu spécial, qui comprend deux boules montées sur un axe rotatif situé au-dessus d'un aimant. Ce pendule a pour particularité de se balancer d'une manière étrange. Le sens et l'intensité du balancement changent sans cesse, de manière totalement irrégulière et imprévisible. Ce comportement est obtenu grâce au fait que les forces en présence (gravité et magnétisme) ont une force comparable et sont donc constamment en compétition l'une avec l'autre. Dans ce cas, le système devient extrêmement sensible aux conditions initiales, et le chaos ne rencontre aucun obstacle à son amplification.

Des chercheurs se sont amusés à observer les mouvements du pendule dans le but, une fois encore, de mettre de l'ordre dans le chaos. Un (beau) jour, l'un d'eux observe une situation pour le moins étrange : au lieu de tournoyer dans tous les sens de manière chaotique, son pendule se met à osciller comme une balançoire, d'une manière étrangement régulière. Le chercheur s'attend à voir le mouvement subir un bouleversement majeur mais rien ne se passe. Alors que peu de temps auparavant, le pendule changeait sans cesse de sens et de vitesse, maintenant il se balance régulièrement. Le chercheur continue d'observer ce ballet régulier pendant deux jours entiers. Au soir du deuxième jour, soudainement, le pendule fait une embardée et reprend son mouvement chaotique, comme si ces deux jours d'oscillations régulières n'avaient jamais existés.

Ce phénomène peut être expliqué de la façon suivante. La régularité observée pendant deux jours n'était qu'apparente, le pendule continuait de porter en lui le caractère chaotique de son mouvement. Nous avons vu dans les autres exemples que le caractère chaotique des phénomènes avait tendance à s'amplifier avec le temps. Ici, nous observons le contraire : au début, le pendule se dandine chaotiquement, puis subitement se met à osciller régulièrement. Cette oscillation est moins chaotique à nos yeux que les autres types de mouvement, mais cela n'est qu'apparence, car le chaos ne disparaît pas ! Nous pouvons affirmer que chaque oscillation n'était pas exactement pareille à la précédente, sinon cela aurait signifié un équilibre, qui n'aurait plus pu évoluer en mouvement chaotique. Non, chaque oscillation était différente, et cette lente et invisible évolution a finalement mené à la dernière oscillation qui allait faire repartir le ballet infernal. Celle-ci oscilla à la limite du point-de-non-retour, et cette limite allait être franchie lors de l'oscillation suivante.

Le chaos et la mécanique céleste

L'exemple du chapitre précédent est primordial. Pourquoi ? Parce qu'il montre qu'un système apparemment en équilibre stable peut subitement adopter un comportement chaotique, et ce sans prévenir. L'amplification du chaos n'est pas forcément progressive, elle peut être explosive. Le chaos peut émerger à tout moment, tout est possible. Quelle est la probabilité qu'un dromadaire tombe du ciel juste à vos pieds ? Elle n'est pas nulle. Aucun homme ne vivra cette expérience, nous le savons, pourtant la probabilité que cela arrive n'est pas nulle. La probabilité zéro n'existe pas.

Un peu moins d'un siècle avant l'expérience du pendule, Poincaré arriva à une conclusion similaire en observant le ballet des planètes autours du soleil. Les lois de Kepler montraient un système planétaire déterministe d'une stabilité totale. Chaque planète tournait d'une manière parfaite, autrement dit son orbite était unique, la planète passait chaque fois exactement par les mêmes points. Rapidement il fut établi que tout ne tournait pas aussi rond. Laplace et Lagrange procédèrent par approximations successives sous forme de séries mathématiques pour obtenir de meilleurs résultats, mais la question de la stabilité du système solaire restait ouverte.

Poincaré vit que la réalité était autrement plus compliquée. Il procéda de la façon suivante : il plaça un plan perpendiculaire à l'orbite et le marqua à l'endroit où la planète passait au travers, et ce à chaque passage. Si l'orbite avait été constante, chaque point se serait superposé parfaitement aux précédents. Ce qu'il vit, au contraire, était que ces points étaient dispersés, chaque nouveau passage se décalait un peu du précèdent et qu'il était possible que la planète subisse à certains moments une dérive majeure de son orbite. Ce sont ces dérives majeures qui interpellent le mathématicien. Poincaré sait que les fameuses conditions initiales ne peuvent pas suffire pour expliquer ces dérives. Pourquoi ? Parce que la planète n'est pas en équilibre instable, et donc une infime variation des conditions initiales ne peut provoquer de dérive majeure.

Pour résoudre ce problème, il ne faut donc pas mettre en cause la précision des conditions initiales, mais bien la multitude de celles-ci : le nombre de paramètres qui influencent le ballet cosmique de notre système solaire. La Terre n'est pas seulement sous l'influence gravitationnelle du soleil, elle est aussi sous l'influence de toutes les planètes, comètes, astéroïdes et poussières que compte l'Univers entier. Chacun de ces corps émet, proportionnellement à sa masse et à sa distance, un champ gravitationnel influençant tous les autres corps de l'Univers. Même si cette influence peut paraître infiniment faible par rapport à celle du soleil, elle peut cacher, nous l'avons vu, un potentiel de perturbation gigantesque.

En conséquence de ce potentiel chaotique et de l'impossibilité de négliger l'influence des corps lointains, Poincaré établit qu'il est impossible de calculer l'évolution de tous les corps de l'Univers sous l'influence de leurs champs gravitationnels respectifs. Seule la situation simplifiée de l'évolution de deux corps peut être analysée, Newton et sa loi de la gravitation viennent facilement à bout de ce problème. Le trajet des deux corps reste partiellement imprévisible à cause des variations des conditions initiales, mais les dérives sont infimes et le chaos a peu de chances d'émerger. Ainsi, s'il n'y avait que le soleil et la Terre dans l'Univers, l'orbite de cette dernière ne subirait probablement jamais de perturbation majeure, tout au plus une lente dérive. L'orbite de la Terre serait appelée l'attracteur de ce système. Cette appellation illustre le fait que si le chaos nous empêche de prévoir avec précision la position future de la Terre, il nous permet néanmoins de modéliser son attracteur, autrement dit le type de trajectoire vers lequel le système évolue, l'orbite. Le chaos se fait sentir dès que l'on introduit un corps supplémentaire dans l'expérience, par exemple la lune. C'est le fameux problème des trois corps, dont Poincaré démontre l'énorme incertitude chaotique et la subséquente impossibilité de prévoir l'évolution à long terme.

Il calcule ainsi que prévoir la position approximative de la Terre dans quelques millions d'années requiert, entre autres, la connaissance de sa position actuelle avec une précision équivalente à la taille d'un atome. Le système solaire, et a fortiori l'Univers tout entier, est donc un système intrinsèquement chaotique de par les conditions initiales d'une part, mais surtout de par l'influence cumulée de tous les corps de l'Univers d'autre part.

De là à l'effrayante conclusion, il n'y a qu'un pas : tout comme un dromadaire peut tomber du ciel juste devant nos pieds, notre bonne vieille Terre peut, subitement et sans signe avant-coureur, quitter son orbite et se perdre dans l'espace interstellaire, ou encore foncer droit sur le soleil… Cette perturbation majeure ne serait que le fruit d'une conjonction particulière des influences gravitationnelles des autres corps du système solaire et de l'Univers, alors que ceux-ci sont dits négligeables par rapport à l'influence gigantesque du soleil.

Mais pas de panique, la Terre orbite calmement depuis plusieurs milliards d'années et nous le savons, nous le sentons, le risque que la Terre quitte son orbite, autrement dit, le risque de voir apparaître le chaos à l'échelle cosmique, est extrêmement faible. En effet, contrairement au cas du pendule, la force de gravité du soleil est si gigantesque qu'elle a peu de chances de se faire concurrencer. Nous verrons également que ce risque est faible de par la taille gigantesque des intervenants.

Pourtant, il existe dans l'Univers des exemples de mouvements chaotiques permanents. Ainsi, Hypérion, le troisième satellite de Saturne, est animé d'une rotation sur lui-même chaotique : la direction de son axe de rotation et sa période de rotation changent sans cesse et sont totalement imprévisibles. Ce comportement est expliqué par le fait que Hypérion se trouve sous l'influence gravitationnelle de Saturne mais aussi de Titan, un satellite de Saturne, encore plus gros que Mercure et donc loin d'être négligeable sur le plan gravitationnel. Hypérion est donc soumis à deux attractions de force comparable, et son comportement balance sans cesse entre les volontés de ces deux géants de l'espace.

LE CHAOS ET LA TAILLE

Le monde microscopique

Tous les exemples de chaos vus plus haut se situent dans notre monde macroscopique, celui du mètre et du kilomètre, et dans le monde de l'infiniment grand, celui de l'espace, des planètes et des étoiles. La question que nous allons nous poser concerne le chaos à l'autre extrême de l'échelle des tailles : le monde microscopique. Par cette démarche, nous allons tenter de faire un lien entre chaos et taille. Dans le chapitre suivant, nous poursuivrons notre course vers l'infiniment petit et nous dirigerons vers l'angström, le monde de l'atome.

Qu'est-ce que le monde microscopique ? Le terme microscopique fait allusion au micromètre, autrement dit le millième de millimètre (10-6 m). A titre de comparaison, une feuille de papier ordinaire fait environ 100 micromètres d'épaisseur, ce qui signifie qu'un tas de 100 feuilles fait une épaisseur de 1 centimètre. 10 fois plus petit, le grain de farine, qui mesure environ 10 micromètres de diamètre. Enfin, le micromètre est typiquement la taille des cellules biologiques, comme les bactéries, ou des très fines poussières. Nous ne pouvons pas voir un objet micromètrique à l'œil nu, il faut un microscope.

1000 fois plus bas que l'échelle microscopique se trouve l'échelle nanométrique, celle des molécules et des constructions moléculaires élémentaires. Seules quelques techniques très sophistiquées permettent de visualiser le monde du nanomètre. C'est le domaine de la nanotechnologie, la construction de matériaux et de machines dont les composants ne contiennent que quelques milliers d'atomes. Ces derniers sont les véritables briques de construction de notre monde et sont encore un ordre de grandeur plus petit que le nanomètre. Le noyau de l'atome est environ 100 000 fois plus petit que l'atome entier, mais pourtant il contient plus de 99,9% de sa masse. Le noyau est constitué de protons et de neutrons, qui à leur tour sont constitués de quarks, dont les dimensions sont 100 000 000 de fois inférieures à celles de l'atome.

En haut de l'échelle microscopique se trouve l'échelle millimétrique, c'est-à-dire l'échelle de la limite de notre faculté de vision. Plus haut encore se trouve le monde du mètre et du kilomètre, autrement dit notre échelle, celle de notre environnement direct. Enfin, les échelles supérieures concernent les continents (1000 km), les systèmes planètes-satellites (1 000 000 km), le système solaire (1 000 000 000 km), et ainsi de suite… Nous pourrions dire que la cellule biologique se trouve à mi-chemin entre nous et les atomes. De même, nous pourrions dire que nous nous trouvons à mi-chemin entre les atomes et le système solaire.

La taille et la vitesse

Qu'est-ce qui est grand ? Qu'est-ce qui est petit ? La taille est relative, dit-on souvent. Pourtant, entre le très petit et le très grand, le paysage des lois et des caractéristiques change, et aucune formule ne s'applique tant aux atomes qu'aux galaxies. Pour l'étude du chaos, nous nous intéressons à la probabilité de son émergence, et donc à la vitesse des phénomènes. En effet, le chaos se manifeste d'autant plus rapidement que le phénomène lui-même est rapide, et ce de par une amplification plus rapide, donc plus probable. Or, il se trouve que, d'une certaine manière, la vitesse des phénomènes dépend fortement de leur taille, ce qui nous amène au lien entre taille et chaos. Analysons ces notions d'un peu plus près.

Notre galaxie, la Voie Lactée, tourne sur elle-même à la vitesse de 1 000 000 km/h (au niveau du système solaire). La vitesse de la Terre, en orbite autours du soleil, est de l'ordre de 100 000 km/h. La vitesse de l'équateur terrestre, ne tenant compte que de la rotation de la Terre sur elle-même, est de l'ordre de 1000 km/h. Toutes ces vitesses sont gigantesques ! Pourtant, si nous observons le ballet cosmique pendant, disons, une heure, tout cela nous semblera affreusement lent.

Quel est l'origine de cet étrange paradoxe ? Ce qui compte, ce n'est pas la vitesse exprimée en km/h, mais bien le temps nécessaire pour effectuer un mouvement complet, comme par exemple une rotation autours du soleil. En effet, le chaos s'amplifiera de manière visible à chaque répétition du phénomène, donc plus (vite) le phénomène se répète, plus vite nous pourrons constater expérimentalement l'émergence du chaos. Reprenons les phénomènes cosmiques que nous avons abordés au paragraphe précédent et voyons les temps nécessaires pour effectuer un cycle. Il faut 100 millions d'années au système solaire pour faire le tour de la galaxie (il n'en a fait que quelques dizaines depuis sa naissance) ; il faut 1 an à la Terre pour faire le tour du soleil ; il faut 1 jour à la Terre pour faire un tour sur elle-même. On appelle cela la fréquence. La fréquence indique combien de fois un phénomène se répète par seconde ; l'unité de la fréquence est le Hertz. Si la fréquence de rotation d'une toupie est de 50 Hertz, cela signifie que la toupie tourne sur elle-même 50 fois par seconde. Autrement dit, il faut à la toupie 0,02 secondes pour faire un tour. Si votre ordinateur a une vitesse d'horloge de 1 gigaHertz, ou 1 milliard de Hertz, cela signifie qu'il est capable d'effectuer 1 milliard d'opérations par seconde.

La fréquence de rotation de la toupie et de 50 Hertz, mais que sont devenus les 1000 km/h de l'équateur ? Environ 0,00001 Hertz. Et les 100 000 km/h de la Terre ? Environ 0,00000001 Hertz ! Quant au million de km/h du système solaire, il équivaut à 0,000000000000001 Hertz. Les mouvements que nous observons sur Terre sont donc proportionnellement beaucoup plus rapides que ceux des corps célestes. Il n'est pourtant pas nécessaire de faire appel aux mouvements cosmiques pour lier la taille et la vitesse. Au sein même des mouvements terrestres, ceux de notre environnement direct, nous pouvons observer ce même lien, en analysant par exemple la fréquence de la marche. Pour un être humain, elle est de l'ordre de 2 Hertz, parce que nous effectuons en moyenne 2 pas par seconde. Pour un éléphant, elle est de l'ordre de 0,5 Hertz (0,5 pas par seconde, ou encore 1 pas toutes les 2 secondes). Pour une mouche, elle est supérieure à 10 Hertz. De même, la fréquence du battement d'ailes d'un goéland est de l'ordre de 1 Hertz, tandis que celle d'un moineau est de 10 Hertz, et celle d'un colibri 100 Hertz.

Un exemple tiré de la biologie cellulaire permet de poursuivre le raisonnement non plus dans le domaine des étoiles et de notre environnement immédiat, mais dans le monde du micromètre. Lorsque notre patrimoine génétique, l'ADN, est décodé dans le but de synthétiser des protéines, il est auparavant démêlé. En effet, l'ADN se présente sous forme de double hélice, composée de deux brins complémentaires. Le tout ressemble à une sorte de double spirale. Or, le décodage ne s'effectue que sur un des brins. La double hélice doit donc être étirée et séparée, pour ensuite reprendre sa conformation initiale. Il est possible de mesurer la vitesse de ce processus. Il suffit de mesurer la longueur du brin et le temps nécessaire pour le décodage du brin entier. Il est alors facile de transformer cette vitesse en fréquence, c'est-à-dire en nombre de tour de double hélice démêlé et décodé par seconde. Le chiffre obtenu est de 200 Hertz. Cela signifie que chaque demi-centième de secondes, une boucle entière de la double hélice, contenant plusieurs parties codantes, est démêlée, recopiée et refermée. Cette cadence terrifiante permet à un brin d'ADN d'être copié et décodé plusieurs milliers de fois au cours d'une vie.

La vitesse, la taille, et le chaos

Il s'agit maintenant de faire un éventuel lien entre ce que nous avons vu au chapitre précédent et l'émergence du chaos.

Nous avons vu que l'expression du caractère chaotique d'un phénomène dépend fortement de son amplification, et celle-ci est d'autant plus rapide et donc plus probable pour un phénomène qui se répète rapidement. Dès lors, les phénomènes rapides ont relativement plus de chances d'être confrontés à une évolution chaotique que les phénomènes lents. Comment décider si un phénomène est lent ou rapide ? Cette appréciation est bien sûr relative, mais comme nous l'avons suggéré au chapitre précédent, il s'agit en fait de faire la distinction entre les phénomènes plus rapides ou plus lents que nous. Pour reprendre les exemples du chapitre précédent, la Terre et l'éléphant sont plus lents que nous, tandis que la mouche et l'ADN sont plus rapides que nous. Les phénomènes rapides deviennent donc ceux dont nous pouvons observer plusieurs répétitions en un temps raisonnable, par exemple quelques minutes. Au contraire, les phénomènes lents sont ceux qui durent trop longtemps pour pouvoir en observer plusieurs répétitions en un temps raisonnable. Nous le voyons, toutes ces questions de taille et de vitesses des phénomènes tournent autour de nous et de notre perception du temps et de l'espace, du rapide et du grand.

Nous avons vu également que le développement d'un caractère chaotique trouve son origine dans les variations des conditions initiales et dans la mise en œuvre d'équilibres instables. A côté de cela, l'évolution des phénomènes est constamment soumise aux perturbations extérieures, avec comme conséquence une dérive chaotique. L'importance de ces perturbations dépendra de la sensibilité du phénomène. Cette sensibilité sera faible si le phénomène est soumis à une force relativement très importante, mais elle sera grande si les forces qui s'exercent sur le phénomène s'annihilent l'une l'autre, comme dans le cas du satellite Hypérion. Elle sera grande également pour les petits phénomènes. Ainsi, par exemple, le vent (= perturbation chaotique) aura plus de chance de rendre chaotique le vol d'un avion en papier (= petit phénomène) que d'affecter sensiblement le vol d'un gros porteur (= grand phénomène).

Ces deux raisons, vitesse de phénomène et sensibilité aux perturbations, nous font comprendre que plus nous plongeons dans le monde de l'infiniment petit et rapide, plus le chaos aura une plus grande probabilité de se faire sentir. Pour illustrer cela, nous allons développer trois exemples.

Le chaos et le monde microscopique : trois exemples

Un premier exemple concerne le mouvement Brownien. Nous savons tous que si nous mettons du sable dans de l'eau, celui-ci, sous l'action de la gravité, coule rapidement au fond du récipient. Si nous répétons l'expérience avec de la farine (en agitant pour éviter les grumeaux), l'évolution est différente, la farine reste en suspension un certain temps (qui peut être long), avant de couler.

Pourquoi cette différence ? Il y a bien sûr une question de poids, des grains de plomb coulent plus vite que des grains de sable. Mais ce n'est pas tout, la taille des grains a également une influence considérable sur ce phénomène. Cette influence de la taille trouve son origine dans les collisions qui se produisent entre les grains et les milliards de molécules d'eau qui entourent chacun de ces grains. En effet, les grains de sable, tout comme ceux de farine, entrent constamment en collision avec les molécules d'eau environnantes. Ces dernières ne sont pas immobiles mais s'agitent dans tous les sens de par leur énergie, ce que nous appelons température.

Il peut arriver à un moment donné, c'est statistiquement possible, que le grain de farine ou de sable subisse quelques collisions de plus sur un de ses côtés que sur le côté opposé, créant de ce fait un déséquilibre. Quelle peuvent être les conséquences de ce déséquilibre ? Est-il assez fort pour affecter sensiblement la trajectoire de la particule, autrement dit pour contrer la gravité ? C'est une question de taille, au propre comme au figuré. En effet, le nombre de collisions entre la particule et les molécules d'eau est fonction de la surface extérieure. Celle-ci est proportionnelle au carré du diamètre de la particule. La gravité, quant à elle, s'exerce sur la masse de la particule, qui est liée à son volume, autrement dit au cube du diamètre. Donc, une particule qui voit son rayon doublé voit le nombre de collisions avec des molécules d'eau multiplié par 4, tandis que la force de gravité qui s'exerce sur elle est multipliée par 8. En résumé, plus la particule est grosse, plus la gravité l'emporte sur les déséquilibres des collisions. Plus la particule est petite, plus ce sont les collisions qui l'emportent et qui définissent son comportement.

Pour le grain de sable, relativement gros, le déséquilibre des collisions est très faible par rapport à sa masse et ne porte que peu à conséquence. De plus, les collisions avec les molécules d'eau sont beaucoup moins énergétiques que la gravité. Résultat, le grain de sable coule comme une enclume et n'est pas affecté, ni par les collisions, ni par les déséquilibres.

Le grain de farine est beaucoup plus petit que le grain de sable, ce qui fait que les déséquilibres des collisions avec les molécules d'eau sont proportionnellement beaucoup plus importants. De plus, ces collisions disposent d'une énergie comparable à la gravité, elles peuvent donc lui tenir tête. En conséquence, non seulement le grain de farine ne coule pas, mais les déséquilibres peuvent faire dévier significativement le grain de farine de sa trajectoire, et c'est effectivement ce qui se passe !

En effet, dans une situation réelle, ce genre de déséquilibre est un phénomène quasi permanent. En conséquence, le grain de farine se comporte dans l'eau comme une bille de flipper : le flipper a beau être incliné de manière à faire tomber la bille dans le trou, celle-ci gigote dans tous les sens de par les collisions avec les obstacles. Plus les grains de farine sont petits, plus faible est la gravité par rapport aux déséquilibres de collisions avec les molécules d'eau, et plus long est le temps nécessaire pour que le grain de farine arrive au fond du récipient. Cela dit, il est possible d'accélérer ce processus : il suffit d'augmenter la force de gravité, par exemple en utilisant une centrifugeuse.

Les déséquilibres de collisions entre les grains de farine et les molécules d'eau sont un phénomène aléatoire dans le temps, et il est donc impossible de prévoir où et quand les déséquilibres se manifestent, ils sont chaotiques. En conséquence, la trajectoire du grain sera, elle aussi, chaotique. Le mouvement des grains dû aux collisions avec les molécules d'eau s'appelle le mouvement Brownien.

La figure montre la trajectoire d'une particule soumise au mouvement Brownien. En haut, sa position est détectée toutes les 30 secondes, et ces positions sont reliées entre elles par une droite. En bas, entre deux points successifs (le petit rectangle en haut), la position de la particule est détectée toutes les 0,3 secondes, soit à un rythme cent fois plus élevé. Nous voyons que si nous agrandissons une petite partie de la trajectoire et que la position de la particule est repérée cent fois plus souvent, nous retrouvons, à une autre échelle, la complexité de la trajectoire originale. Nous avons donc ici un bel exemple de structure fractale.

Un deuxième exemple de chaos dans le monde microscopique est celui du comportement de la fumée, par exemple la fumée de cigarette. Il fait appel à la notion de turbulence, fort proche, en fait, du mouvement Brownien que nous venons de voir. Lorsqu'une cigarette est posée sur un cendrier dans une pièce fermée et que nous observons la fumée qui s'en échappe, nous voyons qu'elle commence par s'élever en mince filet régulier. Après 10 à 20 cm, ce filet se transforme soudainement en tourbillons irréguliers, de plus en plus petits, très sensibles à la moindre perturbation. Nous sommes passés sur une distance de quelques millimètres d'un régime dit laminaire à un régime dit turbulent. Lors de ce passage, la colonne de fumée devient hypersensible aux perturbations telles que par exemple les courants d'air. En conséquence, les tourbillons qui forment la turbulence changent constamment de taille et d'orientation. Ils sont chaotiques. Toutefois, la répartition des tourbillons est un exemple de structure fractale naturelle, montrant une fois de plus que le chaos peut donner naissance à des systèmes étrangement réguliers. Pour la petite histoire, il faut savoir que l'écoulement turbulent dissipe beaucoup plus d'énergie que l'écoulement laminaire, c'est pourquoi les aérodynamiciens de l'industrie automobile et aéronautique tentent par tous les moyens d'éliminer les turbulences. Dans d'autres cas, ces turbulences sont au contraire provoquées pour permettre une dissipation d'énergie ou pour accélérer un mélange de deux fluides.

Ces deux exemples montrent que dans le monde microscopique, le chaos n'a plus besoin d'être amplifié à outrance ou de faire appel à de fragiles équilibres instables pour être visible. Dans ce monde invisible à l'œil nu, les perturbations sont extrêmement puissantes et le chaos prend fondamentalement le dessus sur les lois de Newton.

Un troisième exemple reprend le phénomène du décodage de l'ADN. Ce processus, nous l'avons vu, se déroule à une rapidité déconcertante, mais contrairement aux deux exemples précédents, celui-ci ne semble pas être victime du chaos, du moins nous l'espérons, sans quoi nous ne vivrions pas plus de quelques secondes ! En fait, le décodage de l'ADN est un procédé extrêmement fiable grâce à des mécanismes de contrôle qui permettent de vérifier le décodage au fur et à mesure de son avancement et de corriger les erreurs. Le chaos n'est donc pas absent de ce phénomène, mais il est maîtrisé. Nous verrons plus loin que l'informatique présente le même type d'avantage.

LE CHAOS AU CŒUR DU FLOU QUANTIQUE

Poursuivons notre voyage vers l'infiniment petit et plongeons droit vers les atomes, vers des tailles de l'ordre du 10-10 mètres, autrement dit l'angström, un million de fois plus fin qu'un cheveu ! Les vitesses dans les profondeurs de la matière dépassent notre imagination. Par exemple, la fréquence de rotation des électrons autours du noyau dépasse les mille milliards de Hertz. Le chaos devrait donc logiquement y être omniprésent. Voyons cela d'un peu plus près.

La rapidité des phénomènes au niveau atomique n'est pas si évidente et mérite donc que l'on s'y attarde quelque peu. En effet, il existe un très grand nombre de réactions chimiques très lentes. Comment expliquer cela si les molécules qui réagissent sont censées filer à toute vitesse ? Pour répondre à cette question, il nous faut comprendre ce qu'est réellement une réaction chimique et comment elle se déroule.

La réaction chimique

La réaction chimique consiste en la transformation d'une ou plusieurs molécules en une ou plusieurs autres molécules. Les molécules d'arrivée (le produit de la réaction) sont un réarrangement des atomes des molécules de départ (les réactifs). Si certains atomes ont disparu au profit de nouveaux types d'atomes, on ne parle plus de réaction chimique mais bien de réaction nucléaire.

A titre d'exemple, développons le cas de la réaction de combustion du méthane, constituant du gaz naturel. Le méthane est une molécule composée d'un atome de carbone (C) et de quatre atomes d'hydrogène (H). Le méthane est donc représenté par la formule CH4. La combustion du méthane n'est autre que la réaction chimique de celui-ci avec la molécule d'oxygène, composée de deux atomes d'oxygène (O), représentée par O2. Le produit de cette réaction est du gaz carbonique (CO2), tristement célèbre pour son rôle dans l'effet de serre, et de l'eau (H2O). Cette formation d'eau peut être visualisée lorsque des casseroles froides sont placées sur une cuisinière à gaz. Faîtes l'expérience ! La réaction libère également de l'énergie sous forme de chaleur. Elle peut être écrite de la façon suivante : CH4 + 2O2 > CO2 + 2H2O + énergie. Nous le voyons, les réactifs (méthane et oxygène) réagissent pour donner les produits (CO2 et eau), deux molécules différentes. Pourtant, les atomes constitutifs des réactifs (un carbone, quatre hydrogène, quatre oxygène) se retrouvent intacts dans les produits.

Le méthane et l'oxygène réagissent facilement et rapidement. On ne peut pas en dire autant de chaque paire de molécules. Pour savoir si deux molécules réagissent, il faut se demander si, en réagissant, elles conduisent à des composés plus stables. Si ce n'est pas le cas, elles ne réagissent pas. Au contraire, si leur transformation conduit à des composés plus stables, elles réagissent, totalement ou en partie. Seulement, cette règle ne dit pas à quelle vitesse la réaction se produira. En fait, la réaction peut se produire à des vitesses différentes, et ce indépendamment du gain de stabilité obtenu. Elle peut se produire si lentement qu'il est impossible de la mesurer, et elle peut se produire si rapidement qu'elle provoque une explosion. Un exemple d'une réaction très lente est la combustion du diamant. Le diamant est composé de carbone, (à peu près) comme le charbon ! Ces deux matériaux ont la même origine : les déchets animaux et végétaux de la préhistoire, enfoui sous la terre et transformé. Seulement, le diamant a eu droit à un traitement un peu différent, basé principalement sur une pression gigantesque. Malgré cette différence, les deux matériaux peuvent brûler (c'est-à-dire réagir avec l'oxygène de l'air et former du CO2) de la même manière. Ce qui différencie ces deux matériaux, c'est la vitesse à laquelle se déroulera la combustion. La réaction du diamant avec l'oxygène est extrêmement lente de sorte que plusieurs siècles ne suffisent pas pour pouvoir mesurer une perte de poids significative.

Quelle est l'origine de la lenteur de certaines réactions ? Le chemin qui conduit les molécules qui réagissent vers celles qui sont formées par cette réaction n'est pas rectiligne, il passe par une sorte de montagne d'énergie, appelée énergie d'activation. Cela signifie qu'avant de pouvoir gagner de la stabilité, les molécules doivent en perdre ! Cette montagne, il faut la passer, ce qui ne marche pas à tous les coups. Les molécules n'y parviennent parfois qu'après des milliards d'essais infructueux. Dans ce cas, la réaction nous semble être très lente, malgré le fait que les molécules sont très rapides et qu'elles se cognent plusieurs milliers de fois par seconde. Ceci explique entre autres pourquoi le bois ne brûle pas spontanément mais doit être allumé. L'allumette fournit l'énergie d'activation permettant à la surface de la bûche de brûler. La combustion de la surface de la bûche fournit à son tour l'énergie d'activation permettant la combustion du reste de la bûche. Le procédé s'auto-alimente : une fois allumé, le feu ne s'éteint plus tant qu'il y a du bois à brûler. Dans le cas des réactions explosives, la montagne d'énergie n'est pas très haute, ce qui rend son passage facile. De plus, il arrive qu'une molécule qui réagit libère un agent très actif qui facilite d'autres réactions. On parle alors de réaction en chaîne.

Pour que ça marche mieux, autrement dit plus vite, il faut soit abaisser la montagne d'énergie, soit donner plus d'énergie aux molécules. Comment ? Abaisser la montagne d'énergie peut se faire en catalysant la réaction, comme cela se fait dans l'industrie chimique ou encore dans les organismes vivants, par l'intervention des enzymes. Donner plus d'énergie aux molécules peu se faire en haussant la température. Lorsqu'elles ont plus d'énergie, elles bougent plus vite et ont plus de chances de passer la montagne et de dévaler vers le produit de la réaction : les composés stables.

Le chaos et les atomes

Revenons-en à la question qui nous occupe -qu'en est-il du chaos au niveau atomique ?-. Nous avons vu que dans le monde des planètes et des étoiles, le caractère chaotique avait relativement peu de chance de s'exprimer, à cause de (ou plutôt grâce à) la lenteur du phénomène et à la faible sensibilité aux perturbations. Nous avons vu également que ce caractère s'exprime nettement plus à l'échelle humaine et encore plus à l'échelle microscopique, cette fois de par la relative rapidité et plus grande sensibilité des phénomènes. Qu'en est-il à l'échelle atomique, où les phénomènes sont encore plus rapides ?

La mécanique de Newton ne permettant pas d'étudier cette échelle de taille de manière satisfaisante, il a fallu développer une nouvelle science. La question du mouvement des particules élémentaires, de leur position, de leur vitesse a été étudiée en profondeur par plusieurs savants durant la deuxième moitié du XXème siècle. Elle a donné naissance aux formules très complexes de la mécanique quantique. Voyons plus en détail deux aspects de cette science de l'infiniment petit.

D'une part, la mécanique quantique affirme que l'espace, le temps, et l'énergie ne peuvent pas être subdivisés indéfiniment, ils sont quantifiés. Nous savions déjà que la matière est quantifiée. En effet, nous ne pouvons pas diviser la matière à l'infini, l'atome constituant la limite de cette division. Il semble donc que l'espace, le temps et l'énergie présentent la même caractéristique. Nous devons à Max Planck le calcul de ces grandeurs élémentaires. L'unité de temps est le chronon, il équivaut à 5,4.10E-44 secondes. L'unité d'espace équivaut à 1,65.10E-35 mètres. Cette distance est si minuscule qu'elle pourrait se loger 1020 de fois dans le noyau d'un atome. Si nous tentons de plonger en-deça des ces grandeurs, l'espace-temps devient une mousse quantique !

Cette quantification est plutôt une bonne nouvelle, puisque cela allège un peu la question du nombre infini de chiffres après la virgule que nous avons abordée précédemment. En effet, ce nombre infini nous empêchait de décrire un système avec une précision totale. La quantification de l'espace, du temps, et de l'énergie implique que la précision totale peut être obtenue avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Ce nombre reste considérable et tout aussi hors d'atteinte, mais il est moins effrayant depuis qu'il est fini.

D'autre part, la mécanique quantique apporte une autre nouvelle, plutôt mauvaise. En tentant de déterminer la position et la vitesse des particules, la mécanique quantique se heurte à un mur d'imprécision : localiser une particule avec certitude est impossible. Au mieux, il est possible de proposer des probabilités de présence dans une zone donnée. Et, plus nous insistons sur la précision de cette localisation, plus la précision dans la détermination de la vitesse en souffre, et vice-versa. Tentons de déterminer la vitesse d'une particule, et nous ne serons plus capables de savoir où elle se trouve. Tentons de déterminer la position d'une particule, et nous ne serons plus capables de savoir à quelle vitesse elle se déplace. A l'origine de ce problème se trouve entre autres la dualité onde-particule : chaque particule, ou grain de matière, a, sous certaines conditions, le potentiel de se comporter comme une onde électromagnétique, et vice-versa.

En définitive, et c'est là le message de la mécanique quantique, on ne peut décrire une particule que par des probabilités. Où se trouve un électron ? Personne ne peut l'affirmer avec certitude, mais il y a une certaine probabilité qu'il se trouve dans telle ou telle zone. Nous voilà bien avancés, cette réponse étrange semble totalement inutile ! Cela signifierait que l'électron pourrait être partout ? Que la probabilité de le trouver à 100 km de son noyau n'est pas nulle ? La mécanique quantique l'affirme.

Qu'est-ce que tout cela signifie ? Au niveau fondamental de la matière, au cœur des atomes, semble régner un chaos encore bien plus important qu'à notre échelle, un chaos quasi palpable, réel. Le chaos qui entoure les atomes n'est plus une limite de précision, il est un paramètre essentiel, intrinsèque. Ces mêmes atomes sont les briques de construction de notre planète, notre soleil, notre corps, nos cellules… Le monde devient dès lors comme un jeu de construction, dont les briques ont une forme au mieux probable, jamais certaine. Peut-être est-ce là l'explication première du caractère chaotique de la Nature ? En effet, comment construire un monde sans chaos avec des briques hautement chaotiques ?

LE CHAOS ET L'HOMME

Imaginer l'absence de chaos : les mathématiques

Si la Nature tout entière recèle dans ses entrailles un caractère chaotique intrinsèque, y a-t-il quelque chose qui ne soit pas chaotique ? Pouvons-nous échapper au chaos ? Pouvons-nous nous en protéger ? La réponse est oui. En effet, les idées et les concepts que l'homme imagine grâce à la fertilité de son intelligence peuvent, si l'homme le désire, être dénuées de chaos. L'exemple que nous développerons est le plus classique, il s'agit des mathématiques.

L'homme est confronté à la Nature et sa curiosité naturelle le pousse à la connaître, à la comprendre. Comme nous l'avons abordé précédemment, la Nature ne se prête pas jusqu'au bout à ce petit jeu. En conséquence, cette démarche comprend une étape indispensable : la modélisation. Le cerveau humain est incapable d'approcher un phénomène naturel dans toute sa complexité, il doit le simplifier, le débarrasser de son enveloppe chaotique.

Si un météorologue veut étudier le mouvement des nuages, il n'analyse pas la forme précise de chaque nuage. Il simplifie et définit une dizaine de sortes de nuages différents et se base sur cette classification pour réaliser son étude. Le scientifique effectue une modélisation. Si un égyptologue désire découvrir le rôle des pyramides pour l'astronomie, il commence par mesurer la pyramide, sa position et son orientation. Il rassemble ensuite toutes ces mesures et crée un modèle de la pyramide, sur papier ou sur ordinateur. Ensuite, il peut réaliser son étude sur base de son modèle. Pour l'étude proprement dite, le scientifique fait appel aux mathématiques, les utilisant comme un outil qui lui permet d'étudier le modèle établi. Cet outil est le fruit du travail des mathématiciens, qui ont la charge d'étudier et de développer les mathématiques. Pourquoi les mathématiques sont-elles un outil si précieux ? Parce qu'elles sont dénuées de chaos. Pourquoi sont-elles dénuées de chaos ? Parce qu'elles n'existent pas dans la Nature, elles ne sont pas faites de matière, d'atomes.

Explicitons. Si nous affirmons qu'une planche mesure 2 mètres, combien mesure-t-elle exactement ? 2,000 mètres ? 2,001254399 mètres ? Nous n'en savons rien, et nous ne pouvons pas le savoir. Par contre, en mathématiques, nous pouvons affirmer qu'un parallélépipède fait 2 mètres de long. Nous pouvons affirmer qu'il fait 2,000… (à l'infini) mètres. Pourquoi ? Parce que le parallélépipède n'existe pas dans la réalité. Tout au plus, il est un modèle pour un objet réel en forme de parallélépipède, par exemple la planche.

Donc, en mathématiques, il nous suffit d'affirmer quelque chose pour rendre cette affirmation correcte, pour autant que cette affirmation n'aille pas à l'encontre d'une affirmation antérieure. Pour la petite histoire, notons que les mathématiques récentes contiennent des bizarreries telles que le théorème d'indécidabilité. Celui-ci démontre que certaines propositions mathématiques ne peuvent être ni confirmées ni infirmées, elles sont indécidables… Mais revenons-en aux mathématiques classiques.

De tout cela, on peut tirer un avantage considérable. En mathématiques, tout est permis. Nous pouvons par exemple envisager un carré. Cela est tout à fait sensationnel parce qu'un